Description du tableau "Polyedeleiev".

Ci-dessous une explication des schémas de l'album Environnements symétriques.

Son nom est bien sûr dérivé de celui de la classification périodique des éléments de Mendeleiev. Il comporte 5 lignes et 6 colonnes. La première ligne est celle du bas, la première colonne est elle de gauche. Le dessin de chaque case du tableau représente la composition des sommets du polyèdre qui occupe cette case. La première ligne est occupée par les polyèdres à base de triangles, la seconde à base de carrés, puis de pentagones, d'octogones et de décagones; le polygone de base est en vert. La première colonne montre que l'on obtient un polyèdre en associant au polygone de base 2 hexagones (en mauve). La seconde en lui associant 4 triangles, la troisième en lui associant "lui-même" (en bleu) et 2 triangles, la quatrième 2 autres lui-même, la cinquième lui-même et un triangle, la sixième deux carrés et un triangle (pour les lignes 2 et 3), puis deux carrés et un hexagone. 

On remarque dans cette colonne 6 la présence constante de 2 carrés, et le doublement des 2 autres polygones du sommet  entre les lignes 2 et 4, et 3 et 5.  Les 2 polyèdres de ces 2 couples ont donc le même nombre de faces. Une animation morphing de cette propriété serait sans doute spectaculaire.

On pourrait ajouter 2 colonnes au tableau, avec une infinité de lignes, contenant les boites à deux faces parallèles (le dessus et le dessous). 2 boites (en vert clair) sont déjà présentes dans le tableau. Il semble que ces polyèdres "boites" n'aient pas de nom.

Pour terminer, la constance de l'environnement du polygone de base dans chaque colonne apparait peut-être dans l'équation d'Euler (F+S=A+2). Le nombre 6 doit avoir un statut particulier, qui explique pourquoi il n'y a pas de ligne à base d'hexagone, l'hexagone n'apparaissant que comme polygone associé. Mais cela reste à montrer...